One in ten parents admit to making up the answers as they feel too embarrassed to be shown up academically.

Каждый десятый родитель иногда сам придумывает ответы, т.к. стесняется своего незнания научных тонкостей.

Для справки:
to show up sb – informal : to embarrass (someone) : to do something that makes (someone) look foolish, weak, etc. (MW Advanced Learner’s Dictionary) ->
то есть выставить дураком / в невыгодном свете ->
то есть родитель не знает полного и по-научному точного ответа, поэтому придумывает.

Но be shown up можно в данном контексте не переводить, также как и слово admit (тем более, что в предыдущем русском предложении уже было слово “признаются”). Смысл и так хорошо передается, а идиоматику всегда сложно перевести близко к тексту.